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Les forces agissant sur les pont
L'etude des forces intérieures d'un pont sera faite sur l'une
des deux portions rigoureusement identiques.
Bilan des forces :
- Le poids Pt du tablier :
Direction :
Sens :
Point d’application :
Intensité : Pt = mt g
On suppose que Pt = Pt total / 2 Les deux portions du pont étant
rigoureusement identique en admettant un répartition égale de la
masse.
- Le poids Pp du pilier :
Direction :
Sens :
Point d’application :
Intensité : Pp = mp g
On suppose que Pp = Pp total / 2 Les deux portions du pont étant
rigoureusement identique en admettant un répartition égale de la
masse.
- La réaction Rp du pilier sur le tablier :
Direction :
Sens :
- La réaction R du sol sur le pilier :
Direction :
Sens :
Les forces Rp et Pt, R et Pp on même direction, même valeur mais
des sens opposés.
De part et d'autre de chaque pilier sont tendus de multiples câbles
ou haubans qui soutiennent le tablier du pont. On assimilera sur
le schéma l'ensemble des haubans à deux haubans principaux (C1 et
C2) concentrant la somme des forces réparties sur chaque câble, et
ce de chaque côté des 2 piliers. Bien sûr, il ne faut pas pour autant
négliger l'importance d'avoir plusieurs haubans qui permettent une
meilleure répartition des forces sur le pilier et sur le tablier et
ainsi assurent une certaine sécurité au cas où un ou plusieurs câbles
lâcherait. La valeur de la force est répartie proportionnellement sur
chaque câbles, donc plus il y a de câbles, moins la force supportée
par chaque câble est grande.
- Les force de tension T1 et T2 exercées par les haubans sur le tablier :
Direction : Selon les Câbles C1 et C2.
Point d’application : Appliquée en B.
- Les force de tension T’1 et T’2 exercées par les haubans sur le tablier :
Direction : Selon les Câbles C1 et C2.
Point d’application : Appliquée en C.
Les forces T1 et T’1, T2 et T’2, sont des forces d’interaction elles
ont donc même direction même valeur mais des sens opposés.
Les forces Rp et Pt , R et Pp ont même direction , même valeur mais
des sens opposés. De plus Les forces T1 et T’1, T2 et T’2, sont des
forces d’interaction elles ont donc même direction même valeur mais
de sens opposé. La somme des force intérieures de cette portion du
pont est nulle. Donc La somme des force intérieures de ce pont est
nulle. D’après le principe de l’inertie, le système Pont -- tablier,
piliers et haubans -- est donc en équilibre.
Calcul des forces :
Pour ce calcul on simplifiera le pont au schéma suivant.
- Bilan des forces :
- le poids P du pont :
- les tensions T1 et T2.
Soit a l’angle formé par les câbles C1 et C2 avec le tablier.
Le tablier étant en équilibre, la somme des forces est nulle :
Fext = 0
Ici : ∑Fext = P + T1 + T2
En projetant les vecteurs T1 et T2 dans un repère orthonormé
(repère (O ;i ;j) : voir schéma 3 ), on observe ces résultats :
Sur (O,x) : T1x + T2x + Px = 0 ;
Sur (O,y) : T1y + T2y + Py = 0 ;
Or Px = 0 d’où Py =mg
- T1 a pour abscisse T1 * (cos a) et pour ordonnée T1* (sin a) ;
- T2 a pour abscisse T2 * (cos a) et pour ordonnée T2* (sin a) ;
On obtient donc :
- sur l’axe (O,x), on obtient : T1 * (cos a) + T2* (cos a) = 0 ;
- sur l’axe (O,y), on obtient : - P + T1*(sin a) + T2*(sin a) = 0 ;
T1* (cos a) + T2 * (cos a) = 0
T1* (cos a) = - ( T2 * -(cos a)) = 0
D’ou :
T1* (cos a) = T2 * cos a
T1 = T2
Donc la norme des deux tensions est la même.
Si F = T1 = T2
P + T1 * sin a + T2 * sin a = 0
P + T1 * sin a + T1 * sin a = 0
2 T1 * sin a = P
2 T1 = P/ sin a
T1 = T2 = F = P/ ((sin a) * 2)
- On définit la fonction f : a → F
f(x) = P / ((sin a) *2)
- Applications numériques :
a] Calcul du poids :
On considère la partie centrale du tablier de hauteur :
1m, de largeur 20m, et de longueur 100m.
Son volume est donc de :V= 1 x 100 x 20 =2000 m^3
Or P = mg et m =µ x V
Avec µ la masse volumique du principal matériau constituant
le tablier du pont ( fer ou acier) et g la constante de
gravitation ( g = 9.81 N.kg^-1).
Données indicatives :
µfer = 7870 kg/m^3
µacier = 7800 kg/m^3
P = 7870 kg/m^3 x 2000m^3 x 9.81
P = 1.544094 x 10^8 N
b] Calcul des deux tensions :
On prendra pour a une valeur moyenne de 40°.
T1 = P/((sin a)*2)
T1 = 1.20 * 10^8
T2 = T1 = 1.20 * 10^8
Résistance à la rupture :
La résistance à la rupture d’un câble d’un pont suspendu est
à peu prêt égale à 170 daN/mm^2.
Si ce câble a un diamètre de 20 cm:
Rrupture = Force maximale que l’on exerce sur ce câble / surface
Rrupture = Forcemax / surface
Forcemax = Rrupture *surface
Forcemax = Rrupture *p* (diamètre/2)^2
Forcemax = 170 daN * p *(200/2) ^2
Forcemax = 5.3407075111 * 10^7 Newtons
D’où l’ordre de grandeur : En général, une masse d'un kilogramme
exerce sur un autre corps une force de dix Newtons. Alors,
imaginez-vous la force nécessaire pour rompre ce câble !
Représentation graphique de la fonction :
f(x) = P / ((sin a) *2)
Avec P = 154 000 000 N.
Plus le poids du tablier est élevé, plus il est nécessaire d’avoir
un angle a grand pour diminuer la tension des câbles, donc minimiser
le risque de rupture (Courbes C1, C2 et C3 ).
La droite Δ représente la tension maximale que peut supporter
un seul câble sans casser. Il apparaît une fois de plus que la
multiplication du nombre de haubans permet de soutenir des masses de
plus en plus grandes et donc de construire des ponts toujours plus
hauts et plus longs .
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